A música dos números primos

Ao me ver lendo o livro “A música dos números primos” de Marcus Du Sautoy alguém certo dia me perguntou: mas afinal para que servem os números primos? Às vezes é difícil falar sobre coisas de nosso dia a dia em que possamos aplicar a matemática, apesar desta estar efetivamente em tudo ao nosso redor. Uma conta de troco, o percentual de aumento dos combustíveis ou a taxa de juros do cartão são exemplo simples de sua utilização mas não necessáriamente envolvem números primos.

Porém hoje em dia podemos falar em uma aplicação muito na ‘moda’ para os números primos: criptografia!

Aquela compra na loja online ou a consulta a conta bancária é mediada através dos números primos, que garantem o funcionamento dos sistema de segurança criptografados que fazem seu número de cartão de crédito ou a senha de seu banco ou rede social viajar com ótima segurança.

Mas falar sobre os números primos é algo que vai muito além disso! Estes números são tão misteriosos e interessantes que muita história existe por traz da pesquisa de suas propriedades, a começar pelo fato de que qualquer número pode ser escrito a partir deles.

E é este o objetivo do livro, trazer para o público leigo (mas não só para ele) a história e as muitas curiosidades tanto dos números primos quando dos matemáticos e pessoas envolvidas com seu estudo.

O que são números primos afinal?

É curioso imaginar que quando se pensa em números a maior parte das pessoas imaginam algo preciso como 2 + 2 ser igual a 4 (isso é claro se você não estiver em uma sociedade totalitária como a do livro 1984) porém certos números apresentam propriedades muito diferentes dos demais. Se estes estranhos números fossem pessoas, por exemplo, poderiamos dizer que são extremamente anti sociais. Saber quando um destes números vai aparecer enquanto contamos os números ditos ‘normais’ ou se eles existem em quantidades finitas ou infinitas são outras características que não encontramos nos demais numeros. Pois bem, os tais números diferentões são os primos!

Talvez você tenha aprendido na escola o que são números primos mas vou relembrar para aqueles que esqueceram: um número é primo quando ele é natural maior que 1 e só pode ser dividido por 1 ou por ele mesmo. O número 2, por exemplo, é primo pois ele só pode ser dividido por 1 (2/1 = 2) e por ele mesmo (2/2 = 1). Neste contexto 13 é um número primo pois ele só pode ser dividido por 1 (13/1 = 13) e por si próprio (13/13 = 1). Todas as demais divisões resultarão em números fracionados (não inteiros).

A matemática pode virar arte também! Figuras feitas com base em números primos: Fonte AM Computersystems 

Sendo assim os primeiros primos são aqueles que provavelmente você já decorou 2,3,5,7,11,13,17… e assim infinitamente.

O desafio destes números diz respeito a saber quem são todos eles, defini-los de uma maneira clara e compreender suas propriedades. Esta compreensão é fundamental para inúmeras áreas de nossa moderna sociedade, especificamente no ramo da tecnologia e Internet, como citado anteriormente.

Da compreensão dos números primos dependem trilhões de dólares em transações eletrônicas.

A natureza nos surpreende

No começo desta resenha comentei sobre a utilidade dos primos em nosso mundo. Na natureza eles manifestam-se em situações surpreendentes. O nascimento de certas espécies de borboletas só ocorre em peridos primos (de 13 em 13 anos ou 17 em 17 anos) para provavelmente evitar que coincida com o ciclo de nascimento de seus predadores naturais. Na física quântica eles manifestam-se por meio dos níveis energéticos dos átomos e assim por diante.

É surpreendente imaginar como algo nascido do intelecto humano (existem controvérsias sobre esta afirmação entre filósofos e matemáticos) possa corroborar com aspectos naturais de forma tão estreita! É nisto que reside a beleza destes misteriosos números. Os dois exemplos acima são apenas uma pequena gota no oceano de coisas em que os primos estão envolvidos.

História dos números e pessoas

O livro explora as primeiras descobertas feitas pelos gregos até o desenvolvimento da criptografia, área em que os primos são fundamentais. Mas a saga pelos mundo dos primos no final acaba por tornar-se um voo sobre a terra da matemática, com inúmeros pousos sobre personagens como Euclides, Fermat, Gauss, Euler, Riemann, Ramanujan e muitos outros, como também em eventos que acompanham o desenvolvimento desta, passando inclusive pelo impacto da computação na busca ou refutação das provas matemáticas.

O livro, em certos momentos, tanto exalta os matemáticos quanto coloca em xeque as certezas destes. Existe espaço inclusive para ‘tiração de sarro’ com outras ciências onde, segundo o autor, as provas rigorosas são menos necessárias.

"Qualquer cientista experimental teria aceito 10 milhões de observações como evidências absolutamente convincentes da precisão[...] Somente através da análise teórica [...] e da força das prova matemática podemos ter certeza que, em algum momento, a previsão de Gauss será refutada"

Mas em certo sentido o autor coloca um tom de ironia em cima da ideia de que o matemático é o ‘guardião’ da única verdade absoluta de nosso universo, apesar do conhecimento de um teorema matemático, por exemplo, ser sempre correto e válido, não importando quão distante na história tenha sido afirmado. Os ‘Elementos’ de Euclides, escrito na Grécia antiga, é válido e aplicável até os dias atuais, o que não ocorre, por exemplo, com as idéias de átomo ou a medicina desenvolvida no mesmo período.

Neste sentido o matemático seria um artista “esteta" pois busca a beleza da prova sem se ater ao empirismo do mundo, assim como um artista pode pintar um quadro sem necessariamente representar um retrato do mundo real.

O livro mostra também que o estereótipo atribuído aos matemáticos como seres reservados pode não ser completamente verdadeiro, caso de Hilbert e Erdös, ao mesmo tempo que pode reforça-los quando fala sobre Euler ou Selberg.

Perseguindo os números primos e além

A busca pela compreensão dos números primos levou os matemáticos ao desenvolvimento de inúmeras técnicas e hipóteses. Para eles hoje tais desmembramentos são mais importantes do que os próprios números primos. Quando o livro fala em ‘um problema não resolvido’ em seu título na verdade ele refere-se a Hipótese de Riemann, um problema nascido exatamente das questões que envolvem os primos e que está em aberto até hoje.

Gráfico da função Zeta⁽¹⁾, origem da Hipótese de Riemann. Os zeros da função Zeta⁽¹⁾ possuem uma intrigante correlação com os números primos. Fonte: Story of Mathematics

A base do livro acaba focada exatamente no problema de Riemann e a busca por sua comprovação e não exatamente nos números primos per si, apesar do que provar a hipótese terá como uma das consequências saber quantos primos existem entre dois números quaisquer, por exemplo 1.000 e 1.000.000 ou 1010 e 10100.

A ‘caçada’, que já tem mais de um século, envolveu e envolve os maiores gênios da matemática e os mais poderosos super-computadores na busca pela prova ou refutação da hipótese. Em termos gerais a questão de Riemann reside em saber se uma função chamada Zeta⁽¹⁾ terá seus zeros SEMPRE ao longo de uma certa linha reta (estes zeros estão ligados aos números primos). O trabalho dos super computadores nesta questão matemática é fazer os cálculos da função e verificar se mesmo para números imensos a função continuará colocando seus zeros em cima da tal linha. Encontrar um zero fora desta linha seria matar a hipótese. Até hoje ela tem resistido ao monótono teste dos computadores mas a prova definitiva provávelmente só poderá vir dos matemáticos.

Muitas outras demonstrações e hipóteses foram propostas tendo como premissa a Hipótese de Riemann ser verdadeira e por isso sua queda seria catastrófica. Quando comentei, mais acima, sobre o autor ironizar o matemático como guardião da verdade absoluta pensei exatamente nesta questão das hipóteses baseadas em outras hipóteses não provadas. O próprio autor dá a entender que este tipo de situação assemelha-se a uma casas constuída em cima de areia movediça, situação bem distante daquela que exalta o matemático como um ser absolutamente paltado na prova e no rigor.

Conclusão

Apesar do subtítulo do livro ser um 'spoiler' - "A história de um problema não resolvido na matemática" - ,"A música dos números primos" é quase como um thriller policial, um thriller que já dura mais de 2000 anos.

Apesar de ser um assunto aparentemente tão hermético, para ler o livro ninguém precisa ter um pós-doutorado, basta ser curioso. A história dos números primos vai além da própria matemática.

Cheio de curiosidades e mostrando como a força do caráter dos matemáticos é inabalável na busca da beleza da prova, algo fundamental segundo o autor para ser um matemático, o livro não pode faltar na estante (ou no e-reader) tanto de curiosos como de estudantes - de exatas ou não -, apaixonados pelos mistérios da mente humana e suas criações.

Referências

Livro “A música dos números primos” de Marcus Du Sautoy - Editora Zahar, 2008

Numberphile - Riemann Hypothesis: http://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo


⁽¹⁾ Função Zeta: ℘(s) = 1/1s+1/2s+1/3s+⋯ onde S pode ser um número real diferente de 1 ou complexo. A pergunta sobre a Hipótese de Riemann é: para quais valores de S, ℘(s) = 0 ?